30 développements pour l’agrégation interne de mathématiques. Oral 1 et oral 2

Cet ouvrage, à destination des candidats à l’agrégation interne de mathématiques, propose une série de 30 développements possibles pour les épreuves orales de leçons et d’exercices.Le développement, effectué sans notes le jour du concours, consiste à détailler une situation mathématique importante afférente au sujet choisi. Il peut s’agir de la démonstration d’un théorème (pour l’oral 1) ou de la résolution d’un exercice (pour l’oral 2). Il est donc important de montrer une aisance dans l’exposé des énoncés ainsi que dans la maîtrise des concepts mis en jeu. Pour chaque développement, les candidats trouveront une série de commentaires ayant pour but de faire un point sur les pré-requis nécessaires. Quelques ouvertures sont également proposées afin de placer le sujet dans un cadre plus large. Dans cet ouvrage, plusieurs démonstrations peuvent être exposées pour un même développement et ce, dans un but de croiser les concepts et les différentes branches des mathématiques.SommaireReprésentation décimale propre d’un rationnelThéorème de Lagrange et sous-groupe distinguéArithmétique et périodicitéThéorème de RieszThéorème de WeierstrassThéorème de d’Alembert-GaussEquivalence des normesThéorème de CarathéodoryThéorème de KakutaniUne application des théorèmes de Kakutani et de CarathéodoryThéorème spectralMatrices de MooreThéorème d’inversion localeNorme d’une forme linéaire continueDisques de GerschgorinInjectivité de l’exponentielle sur l’ensemble des matrices réelles diagonalisablesBicontinuité de l’exponentielle sur l’ensemble des matrices symétriques réellesThéorème de Cayley-HamiltonSurjectivité de l’exponentielle sur l’ensemble des matrices carrées à coefficients complexesRayon spectral et série (dans l’ensemble des matrices carrées à coefficients complexes)Calcul de l’intégrale de DirichletThéorème de Cauchy-Lipschitz linéaireFonction continue dont la série de Fourier divergeThéorème de FejérImages des entiers pairs par la fonction zetaPhénomène de GibbsEquation de BesselNombres de BellApproximation d’intégralesMéthode de Newton pour la décomposition polaire