Peut-on vraiment marcher tout droit sur une surface courbe, celle de la Terre par exemple ? Quel est le plus court chemin d'un point à un autre ? À ces questions on ne peut apporter de réponse que par une compréhension approfondie des mots « tout droit » (notion de géodésique) et « courbe » (notion de courbure). C'est l'objet du présent ouvrage. Dans sa première partie, l'étude est conduite dans le cas des surfaces où, à la suite de Gauss, ces notions peuvent être introduites de plusieurs points de vue et aisément illustrées. Dans la deuxième partie, motivée par la première mais indépendante, l'étude est étendue, à la suite de Riemann, à une variété de dimension quelconque. En y expliquant les notions générales de géodésique et de tenseur de courbure, le texte ouvre la voie à des études plus avancées ainsi qu'aux applications en physique théorique. Le dernier chapitre détaille deux exemples importants, la géométrie sphérique et la géométrie hyperbolique.L'auteur s'est attaché à insister, par de nombreux commentaires et remarques, sur les motivations de chaque notion nouvelle. Plus de soixante-dix exercices permettront aux lecteurs de tester leur progression. La dernière partie du livre présente un corrigé détaillé de chacun d'entre eux.
